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困扰数学家90年的猜想,被计算机搜索30分钟解决了

量子位 · 2020-08-31
GitHub半年只有一颗星。

编者按:本文来自微信公众号“量子位”(ID:QbitAI),作者:晓查,36氪经授权发布。

数学家会代码,就连困扰人类90年的数学猜想也挡不住。

来自斯坦福、CMU等高校的4名数学家,直接将一个数学难题转化成了对10亿个结果进行“暴力搜索”。

△ 论文作者之一CMU助理教授Marijn Heule

他们把这串代码输入40台电脑组成的计算集群,30分钟后,计算机给出了一个200GB大小的证明结果:

凯勒猜想在不超过7维的空间上都是正确的。

现在,任何人都可以去GitHub上克隆这串代码,验证这一数学定理。

比较反转的是,这段获得计算机学术会议IJCAR(国际自动推理联合会议)最佳论文奖的程序,上线GitHub半年,只揽获了一颗星。

那么,这4位数学家要证明的“凯勒猜想”到底是什么?为何非要用计算机来证明?计算机证明的结果可靠吗?

下面让我们一一道来。

什么是凯勒猜想

假如用一批完全相同的正方形瓷砖铺满地面,中间不留空隙。显然,瓷砖之间会共用一条边,如下图蓝线所示:

在3维空间中,如果要用立方体占满空间,是不是也和2维空间类似呢?

想象一下,如果像下图那样在空间中随便放入几个立方体,由此展开填满整个空间,那么唯一的办法就是让接上的立方体共用蓝色的面。

2维、3维皆如此,更高维度的空间会怎样?

1930年,德国数学家凯勒猜测,如果用n维立方体填满无限空间,则立方体之间必然会出现“面对面”,对于任意维度都成立。

这便是凯勒猜想。

但数学猜想不能仅靠直觉,必须有严格的证明。90年来,数学家一直不懈努力。

1940年,数学家Perron证明了凯勒猜想在1到6维空间是正确的。

1992年,另外两位数学家Lagarias和Shor证明,凯勒猜想在10维空间上是错误的。

(注:这位Shor就是那个提出用量子计算机求解质因数分解的Shor算法的数学家。)

非常不幸,凯勒猜想竟然是错的!然而问题并没有到此结束。

还有3个维度没有解决呢!在7维、8维、9维三个维度空间中,凯勒猜想是否成立?

只要解决这三个维度,缠绕数学家几十年的问题就彻底搞定了。

数学论证表明,如果凯勒猜想在n维空间上是错的,那么它在比n更高的维度上也一定是错的。

2002年,数学家Mackey已证明,凯勒猜想在8维空间不成立,因此在9维空间也不成立。

至此,7维空间成为唯一的难题。

△ 证明8维空间凯勒猜想错误的CMU教授Mackey

证明方法的改进

可能你已经发现,从上世纪90年代以来,凯勒猜想的证明速度大大加快,数学家只用了10年时间就把问题缩小到三个维度。

这主要得益于两位数学家的贡献。

当年,Perron求解1到6维时,没有特殊的捷径。而到1990年,凯勒猜想的证明方法发生了巨大的变化。

数学家Corrádi和Szabó提出了一种新的思路,把原来无限空间的问题变成有限的、离散的问题,也让计算机解决凯勒猜想成为可能。

他们巧妙地把凯勒猜想变成了图论问题,就是构造所谓的凯勒图(Keller Graph),而图论正是计算机所擅长的。

在这种方法的指导下,Lagarias和Shor两人很快在2年后就证明了10维空间的情况:凯勒猜想不成立。又过了10年,Mackey证明,凯勒猜想在8维空间不成立。

那么,凯勒图究竟是什么,它为什么能够加速凯勒猜想的证明?

构造“凯勒图”

首先,我们从最简单的2维情况说起。

现在,我们有一种牌,牌上画着两个有颜色的点。两个点是有顺序的,不能调换。比如,1黑2白≠1白2黑。

两个点总共可以涂4种颜色,颜色分成2对:红色对绿色、白色对黑色。

数学家已经证明,分配给点的颜色相当于正方形在空间中的坐标。两张牌的颜色是否配对表示两个正方形的相对位置。

点的颜色与正方形的具体关系是这样的:

1、两对点完全相同,表示两个正方形完全重叠

2、两对点颜色都不同,且颜色都不配对,表示两个正方形有部分重叠

3、一对点颜色相同,另一对点颜色配对,表示两个正方形共用一个边

4、一对点颜色不同,另一对点颜色配对,表示两个正方形的边相互接触但不重合

2个点的凯勒图,要用2对颜色去填充牌面,总共有16种情况。

然后我们把这16张牌摆在桌上,只有符合前面条件4的两张牌,才用线将二者连起来。这样就构成了一张“凯勒图”。

包含16张牌的凯勒图就描绘了正方形填补平面的所有可能。

如果2维空间中凯勒猜想不成立,那么我们肯定能找到4个正方形,它们之间没有共用的边,但是能够无缝隙填在一起。然后在屏幕上无限复制这4个正方形,就能填满整个屏幕。

实际上并不可能。如果按此操作,只会得到有着无数孔隙(下图紫色部分)的填充方式。

对应到凯勒图中,就是找在图中找到4张牌,它们两两之间都有连线。(在数学里,这叫做完全图。)

显然,在2维问题的凯勒图中,我们找不到这样的4张牌。(可以自己去上面的凯勒图中找找看。)

这样,我们把就把n维立方体以及位移s与牌的点数n、颜色对数s联系起来。

作为更一般的规则,如果要证明n维凯勒猜想是错的,就要在对应的凯勒图中找到2n张牌,且这些牌两两相连。

正因为你找不到4个张牌组成的完全图,所以2维空间的凯勒猜想是对的。

为了在3维空间中证明凯勒猜想,可以使用216张牌,每张牌上3个点,并可以使用3对颜色(这一点相对灵活)。然后,我们需要寻找23=8张牌 ,它们两两之间都有连线,但还是找不到。

到了8维空间中,我们总算可以找到符合条件的256张牌,所以8维空间的凯勒猜想是错的。

△8维空间中的一个反例(一个凯勒图的完全子图)

接下来的事情就是在7维空间对应的凯勒图上寻找完全子图。然而这个问题却从8维问题解决后被搁置了17年。

根据前面的说明,求解8维空间和10维空间的凯勒猜想,要寻找28=256和210=1024张牌的子图,而7维空间只要寻找27=128张牌的子图。

后者的难度似乎更小,7维空间的问题应该更简单啊!其实不然。

因为,从某种意义上说,8维和10维可以“分解”为容易计算的较低维度,但7维不行。

证明了10维情况的Lagarias说:“7维不好,因为它是质数,这意味着你无法将其分解为低维。因此别无选择,只能处理这些图的全部组合。”

对于人脑来说,寻找大小为128的子图是一项艰巨的任务,但这恰恰是计算机擅长回答的问题。

计算机帮忙

说干就干,此前证明8维问题的CMU教授Mackey拉上了斯坦福的数学在读博士Brakensiek和专长计算机辅助证明的助理教授Heule。

回忆起立项的那天,Mackey说,Brakensiek是真正的天才,看着他就像看着NBA总决赛里的詹姆斯。Brakensiek本人确实很厉害,他曾是2013/14两届国际信息学奥赛金牌得主。

△ 论文第一作者Brakensiek

言归正传。为了方便计算机求解,他们换了个方向来思考:

先设定牌上有7个点、6种可能的颜色,按照前面的“条件4”对这些牌上色,看看能不能找到128种不同的填色方法。如果找不到,那么凯勒猜想成立。

用计算机辅助证明数学问题,还需要把它变成一系列逻辑运算,也就是处理01之间的与或非关系。

若要求解7维,则总共包含39000个不同布尔变量(0或1),有239000种可能性,这是一个非常非常大的数字,有11741位数。

△2的39000次方(来自Wolfram Alpha运算结果)

一台普通电脑只能处理324位数种可能,离解决问题还远得很。就算交给超级计算机也不够。

但是,这几位数学家想到了排除法,只要得到结论,而不必实际检查所有可能性。效率才是王道!

比如,用计算机规则给128张牌上色,当你涂到第12张牌的时候,发现找不到符合条件的下一张牌了。那么所有包含这12张牌的排列都可以排除。

提升效率的另一种方式是利用对称性。如果已经验证了某种排列不可能,那与之对称的所有情况都可以排除。

通过这两种方法,他们把搜索空间缩小到10亿(230)。这样一来,用计算机搜索变成了可能。

最终,他们仅计算了半个小时,便有了答案。

计算机没有找到符合条件的128张牌,所以7维空间的凯勒猜想确实成立。

实际上,计算机提供的不仅仅是一个答案,证明的内容多达200GB。4位论文作者将证明送入计算机的证明检查器,确认了它的可靠性。

解决了凯勒猜想后,Heule的下一个目标是用计算机证明数学里“最简单的不可能问题”——3n+1猜想,去年陶哲轩已经“几乎”解决了这个问题,现在可能只差一步之遥了。

参考链接:https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/https://www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/https://mathworld.wolfram.com/KellerGraph.html

论文地址:https://arxiv.org/abs/1910.03740

源代码:https://github.com/marijnheule/Keller-encode

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